Bayes' theorem (or Bayes' Law and s

Bayes' theorem (or Bayes' Law and sometimes Bayes' Rule) is a direct application of conditional probabilities. The probability P(A|B) of "A assuming B" is given by the formula

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
which for our purpose is better written as

P(A∩B) = P(A|B)·P(B).
The left hand side P(A∩B) depends on A and B in a symmetric manner and would be the same if we started with P(B|A) instead:

P(B|A)·P(A) = P(A∩B) = P(A|B)·P(B).
This is actually what Bayes' theorem is about:

(1) P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A).
Most often, however, the theorem appears in a somewhat different form

(1') P(B|A) = P(A|B)·P(B) / (P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)),
where B is an event complementary to B: B∪B = Ω, the universal event. (Of course also B∩B = Φ, an empty event.)

This is because


A = A ∩ (B ∪ B)
= A∩B ∪ A∩B
and, since A∩B and A∩B are mutually exclusive,

In a study, physicians were asked what the odds of breast cancer would be in
a woman who was initially thought to have a 1% risk of cancer but who ended up with a
positive mammogram result (a mammogram accurately classifies about 80% of cancerous
tumors and 90% of benign tumors.)
95 out of a hundred physicians estimated the probability of cancer to be about 75%. Do
you agree?
Solution.
Introduce the events:
+ = mammogram result is positive,
B = tumor is benign,
M = tumor is malignant.
Note that Bc = M. We are given P(M) = .01, so P(B) = 1 − P(M) = .99.
We are also given the conditional probabilities P(+ | M) = .80 and P(− | B) = .90, where
the event − is the complement of +, thus P(+ | B) = .10
Bayes’ formula in this case is
P(M | +) = P(+ | M)P(M)
(P(+ | M)P(M) + P(+ | B)P(B))
=
0.80 × 0.01
(0.80 × 0.01 + 0.10 × 0.99)
' 0.075
So the chance would be 7.5%. A far cry from a common estimate of 75

Results (Vietnamese) 1:

Định lý Bayes (hoặc Bayes luật và đôi khi Bayes Rule) là một ứng dụng trực tiếp của các xác suất có điều kiện. Xác suất P(A| B) của "A giả sử B" được cho bởi công thức P(A| B) = P(A∩B) / P(B)cho mục đích của chúng tôi là tốt hơn viết là P(A∩B) = P(A| B) · P(B).Bên tay trái P(A∩B) phụ thuộc trên A và B một cách đối xứng và sẽ là cùng nếu chúng tôi bắt đầu với P(B| A) thay vì: P(B| A) · P(A) = P(A∩B) = P(A| B) · P(B).Điều này là thực sự những gì định lý Bayes về:(1) P(B| A) = P(A| B) · P(B) / P(A).Thông thường, Tuy nhiên, định lý xuất hiện trong một phần nào hình thức khác nhauP(B| (1') A) = P(A| B) · P(B) / (P(A| B)P(B) + P(A| B)P(B)),B ở đâu một sự kiện bổ sung cho B: B∪B = Ω, sự kiện phổ quát. (Tất nhiên cũng có B∩B = Φ, một sự kiện trống.)Điều này là bởi vì A = A ∩ (B U B) = A∩B U A∩Bvà kể từ khi A∩B và A∩B lẫn nhau,Trong một nghiên cứu, các bác sĩ đã yêu cầu những gì tỷ lệ cược của bệnh ung thư vú sẽ trongmột người phụ nữ đã được ban đầu nghĩ rằng có một 1% nguy cơ ung thư, nhưng những người đã kết thúc với mộtkết quả chụp quang tuyến vú tích cực (một chụp quang tuyến vú một cách chính xác phân loại khoảng 80% của ung thưkhối u và 90% của các khối u lành tính.)bác sĩ 95 trong số hàng trăm ước tính xác suất của ung thư sẽ là khoảng 75%. Làmbạn đồng ý không?Giải pháp.Giới thiệu các sự kiện:+ = chụp quang tuyến vú kết quả là tích cực,B = khối u là lành tính,M = khối u là ác tính.Lưu ý rằng Bc = M. Chúng tôi đang cho P(M) =.01, vậy P(B) = 1 − P(M) =.99.Chúng tôi cũng có được xác suất có điều kiện P(+ | M) =.80 và P(− | B) =.90, nơisự kiện − là bổ sung +, vì vậy P(+ | B) =.10Trong trường hợp này là công thức BayesP(M | +) = P(+ | M)P(M)(P(+ | M)P(M) + P(+ | B)P(B))=0,80 × 0,01(0,80 × 0,01 + 0,10 × 0,99)' 0,075Vì vậy, cơ hội sẽ là 7,5%. Một khóc xa từ một ước tính phổ biến của 75

Results (Vietnamese) 2:

Định lý (hoặc Bayes Bayes và đôi khi Luật Luật Bayes ') là một ứng dụng trực tiếp các xác suất có điều kiện. Các xác suất P (A | B) của "A B giả sử" được cho bởi công thức

P (A | B) = P (A∩B) / P (B)
mà đối với mục đích của chúng tôi được viết tốt hơn như

P (A∩B ) = P (A | B) · P (B).
Phía bên tay trái P (A∩B) phụ thuộc vào A và B một cách đối xứng và sẽ là như nhau nếu chúng ta bắt đầu với P (B | A) thay vì:

P (B | A) · P (A) = P ( A∩B) = P (A | B) · P (B).
Đây thực sự là những gì định lý Bayes 'là về:

(1) P (B | A) = P (A | B) · P (B) / P (A).
Thông thường, tuy nhiên, các định lý xuất hiện trong một hình thức hơi khác nhau

(1 ') P (B | A) = P (A | B) · P (B) / (P (A | B) P (B) + P ( A | B) P (B)),
trong đó B là một sự kiện bổ sung cho B: B∪B = Ω, sự kiện phổ quát. (Tất nhiên cũng B∩B = Φ, một sự kiện có sản phẩm nào.)

Điều này là bởi vì


A = A ∩ (B ∪ B)
= ∪ A∩B A∩B
, và từ A∩B và A∩B loại trừ lẫn nhau,

Trong một nghiên cứu, các bác sĩ đã hỏi những gì tỷ lệ ung thư vú sẽ được ở
một người phụ nữ ban đầu được cho là có nguy cơ 1% ung thư, nhưng những người đã kết thúc với một
kết quả chụp quang tuyến vú dương tính (chụp nhũ ảnh phân loại chính xác khoảng 80% ung thư
khối u và 90% các khối u lành tính.)
95 trong số một trăm bác sĩ ước tính xác suất của ung thư là khoảng 75%. Đừng
có đồng ý?
Dung dịch.
Giới thiệu các sự kiện:
Kết quả + = chụp quang tuyến vú là tích cực,
B = khối u là lành tính,
M = khối u ác tính.
Lưu ý rằng Bc = M. Chúng tôi được cho P (M) = 0,01, do đó P (B) = 1 - P (M) = 0,99.
Chúng tôi cũng đưa ra các xác suất có điều kiện P (+ | M) = 0,80 và P (- | B) = 0,90, nơi mà
sự kiện này - là phần bù của +, do đó P (+ | B) = 0,10
công thức Bayes ' trong trường hợp này là
P (M | +) = P (+ | M) P (M)
(P (+ | M) P (M) + P (+ | B) P (B))
=
0,80 × 0,01
(0,80 × 0,01 + 0,10 × 0,99)
'0.075
Vì vậy, các cơ hội sẽ là 7,5%. Một khác xa so với ước tính chung của 75