I now describe the geometry of musi

I now describe the geometry of musical chords. An ordered sequence of n pitches
can be represented as a point in Rn
(Fig. S4). Directed line segments in this space represent
voice leadings. A measure of voice-leading size assigns lengths to these line segments. I
will use quotient spaces to model the way listeners abstract from octave and order
information. To model an ordered sequence of n pitch classes, form the quotient space
(R/12Z)
n
, also known as the n-torus Tn
. To model unordered n-note chords of pitch
classes, identify all points (x1, x2, ... xn) and (x
(1), x
(2), ... x
(n)
), where
is any
permutation. The result is the global-quotient orbifold Tn
/Sn (17–18), the n-torus Tn
modulo the symmetric group Sn. It contains singularities at which the local topology is not
that of Rn
.

Results (Thai) 1:

ตอนนี้ผมอธิบายเรขาคณิตของ chords ดนตรี ลำดับการสั่งของสายเอ็นสามารถแสดงเป็นจุดใน Rn (ฟิก S4) ตรงบรรทัดเซ็กเมนต์ในนี้แสดงถึงพื้นที่เสียง leadings การวัดขนาดเสียงนำกำหนดความยาวเซ็กเมนต์บรรทัดเหล่านี้ ฉันจะใช้ช่องว่างของผลหารรุ่นฟังวิธีบทคัดย่อจากอ็อกเทฟและสั่งข้อมูล แบบลำดับการสั่งของคลาส n สนาม แบบฟอร์มพื้นที่ผลหาร(R 12Z)nหรือที่เรียกว่า Tn n torus. แบบปกติ chords หมายเหตุ n ของสนามเรียน ระบุจุด (x 1, x 2,... xn) และ (x (1), x (2), x (n)...), ใด ๆการเรียงสับเปลี่ยน ผลที่ได้คือ orbifold สากลผลหาร Tn/Sn (17 – 18), Tn n torusmodulo กลุ่มสมมาตร Sn ประกอบด้วย singularities ซึ่งโครงสร้างภายในไม่ของ Rn.

Results (Thai) 2:

ตอนนี้ผมอธิบายรูปทรงเรขาคณิตของคอร์ดดนตรี ลำดับของสนาม n
สามารถแสดงเป็นจุดใน Rn
(รูป. S4) กำกับการกลุ่มสายในพื้นที่นี้เป็นตัวแทนของ
เสียง leadings วัดขนาดเสียงชั้นนำกำหนดความยาวเหล่านี้ส่วนของเส้นตรง ฉัน
จะใช้ช่องว่างความฉลาดในการจำลองวิธีที่ผู้ฟังที่เป็นนามธรรมจากคู่และสั่งซื้อ
ข้อมูล การจำลองลำดับของการเรียนสนาม n รูปแบบพื้นที่เชาวน์
(R / 12Z)
n
หรือที่เรียกว่า n-พรู
Tn แบบเรียงลำดับคอร์ด n หมายเหตุของสนาม
ชั้นเรียนระบุทุกจุด (x1, x2, ... xn) และ (x? (1) x (2) ... x (n)
) ซึ่ง? ใด ๆ
การเปลี่ยนแปลง ผลที่ได้คือความฉลาดทางทั่วโลก orbifold Tn
/ Sn (17-18), n-พรู Tn
แบบโมดูโลกลุ่มได้ส่วน Sn มันมีเอกที่โครงสร้างท้องถิ่นไม่
ว่า
Rn

Results (Thai) 3:

ตอนนี้ผมอธิบายเรขาคณิตของคอร์ดดนตรี สั่งดับ 10
n สามารถแสดงเป็นจุดใน Rn
( รูปที่ S4 ) ส่วนเส้นกำกับในพื้นที่นี้เป็นตัวแทน
เสียง leadings . วัดนำเสียงขนาดความยาวกำหนดกลุ่มบรรทัดเหล่านี้ ผมจะใช้แบบเป็นโมเดล
ทางผู้ฟังบทคัดย่อจากเสียงและข้อมูลการสั่งซื้อ

รูปแบบการสั่งลำดับ n สนามชั้นเรียนในรูปแบบของพื้นที่
( r / 12z )
n
หรือที่เรียกว่า
TN n-torus . แบบเรียงลําดับ n-note คอร์ดเสียง
เรียน ระบุทุกจุด ( x1 , x2 , . . . คริสเตียน ) และ ( x , X

( 1 ) ( 2 ) . . . . . . .
X ( N )
) ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลง

. ผลที่ได้คือโลกแบบ orbifold TN
/ SN ( 17 – 18 ) , n-torus TN
มอดุโล SN กลุ่มสมมาตร .มันมีเอกที่โครงสร้างของ RN ท้องถิ่นไม่ได้