A widely used class of linear opera

A widely used class of linear operators acting on infinite dimensional spaces are the differential operators on function spaces. Let D be a linear differential operator in on the space mathbf{C^infty} of infinitely differentiable real functions of a real argument t. The eigenvalue equation for D is the differential equation
D f = lambda f
The functions that satisfy this equation are commonly called eigenfunctions of D. For the derivative operator d/dt, an eigenfunction is a function that, when differentiated, yields a constant times the original function. The solution is an exponential function
f(t) = Ae^{lambda t} ,
including when lambda is zero when it becomes a constant function. Eigenfunctions are an essential tool in the solution of differential equations and many other applied and theoretical fields. For instance, the exponential functions are eigenfunctions of the shift operators. This is the basis of Fourier transform methods for solving problems

Results (Thai) 1:

ตัวดำเนินการที่แตกต่างบนพื้นที่ฟังก์ชันคลาสที่ใช้กันอย่างแพร่หลายของตัวดำเนินการเชิงเส้นทำหน้าที่ในช่องว่างมิติอนันต์ได้ ให้ D เป็นตัวเส้นส่วนดำเนินการในใน mathbf{C^infty พื้นที่} ฟังก์ชันเพียบ differentiable จริงของ t อาร์กิวเมนต์จริง สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการ eigenvalue ของ DD f = lambda fฟังก์ชันที่ตอบสนองสมการนี้โดยทั่วไปเรียกว่า eigenfunctions d สำหรับการดำเนินการพัฒนา d/dt, eigenfunction เป็นฟังก์ชันที่ เมื่อการณ์ อัตราผลตอบแทนเป็นค่าคงเวลาฟังก์ชันเดิม เป็นฟังก์ชันการเนนf(t) = Ae ^ {lambda t },รวมทั้ง lambda เป็น ศูนย์เมื่อเป็นฟังก์ชันคง Eigenfunctions เป็นเครื่องมือสำคัญในการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์และหลายทฤษฎี และใช้ฟิลด์อื่น ๆ ตัวอย่าง ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียมี eigenfunctions ของตัวกะ นี้เป็นพื้นฐานของวิธีการแปลงฟูรีเยสำหรับแก้ปัญหา

Results (Thai) 2:

ชั้นใช้กันอย่างแพร่หลายของผู้ประกอบการเชิงเส้นที่ทำหน้าที่ในช่องว่างมิติอนันต์เป็นผู้ประกอบการที่แตกต่างกันในช่องว่างฟังก์ชั่น ให้ D จะเป็นผู้ประกอบการเชิงเส้นแตกต่างในพื้นที่ mathbf {C ^ infty} ฟังก์ชั่นเพียบจริงอนุพันธ์ของเสื้อโต้แย้งจริง สมค่าเฉพาะสำหรับ D เป็นสมการเชิงอนุพันธ์
D f = แลมบ์ดาฉ
ฟังก์ชั่นที่ตอบสนองสมการนี้จะเรียกว่าปกติ eigenfunctions ของดีสำหรับผู้ประกอบการอนุพันธ์ d / dt, eigenfunction เป็นฟังก์ชั่นที่แตกต่างเมื่อถัวเฉลี่ยครั้งอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชั่นเดิม การแก้ปัญหาคือฟังก์ชั่นการชี้แจง
f (t) = Ae ^ { เสื้อแลมบ์ดา}
รวมทั้งเมื่อ แลมบ์ดาเป็นศูนย์เมื่อมันกลายเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง eigenfunctions เป็นเครื่องมือที่สำคัญในการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์และสาขาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีและอื่น ๆ อีกมากมาย ยกตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นที่มีการชี้แจง eigenfunctions ของผู้ประกอบการเปลี่ยนแปลง นี่คือพื้นฐานของการแปลงฟูริเยวิธีการในการแก้ปัญหา

Results (Thai) 3:

ใช้กันอย่างแพร่หลาย คลาสของผู้ประกอบการทำเป็นมิติเชิงเส้นอนันต์เป็นอนุพันธ์ฟังก์ชัน เป็นผู้ประกอบการ . ให้ D เป็นผู้ประกอบการอนุพันธ์เชิงเส้นในพื้นที่ N mathbf { C }
infty อนันต์ Differentiable จริงฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์จริงที ค่าสมการ D เป็นสมการเชิงอนุพันธ์
D F = lambda f
ฟังก์ชั่นที่ตอบสนองสมการนี้เรียกว่า eigenfunctions D . สำหรับอนุพันธ์โอเปอเรเตอร์ D / DT , ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่แตกต่าง , อัตราผลตอบแทนคงที่เท่าต้นฉบับฟังก์ชัน โซลูชั่นที่เป็นเลขยกกำลังฟังก์ชัน
f ( t ) = เอ

t } { lambda , รวมทั้งเมื่อแลมบ์ดาเป็นศูนย์เมื่อมันกลายเป็นฟังก์ชันคงที่eigenfunctions เป็นเครื่องมือสำคัญในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์และหลายอื่น ๆและการประยุกต์ด้านทฤษฎี ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็น eigenfunctions ของกะ ผู้ประกอบการ นี่คือพื้นฐานของวิธีการแก้ปัญหาการแปลงฟูรีเย